KURZUS: Műszaki fizika alapjai

MODUL: V. modul: Lendület és perdület. Munka és mechanikai energia

12. lecke: Munka és energia. Munkatétel. Energia megmaradás tétele

| Feldolgozandó:
Jegyzet: A pontszerű testek dinamikája (és alfejezetei) "Pontszerű testek dinamikája" előadás prezentáció Példatár: 9. lecke Munka, energia
Tanulási célok:
A lecke anyagának feldolgozása után Ön képes lesz:
Megfogalmazni a konzervatív és nem konzervatív erők közti különbséget és konkrét esetekben megállapítani, melyikről van szó. A gyakoribb konzervatív erőtípusok erő- és potenciálfüggvényét felírni és értelmezni. (Gravitációs tér a felszín közelében és távoli testek között, elektromos kölcsönhatás, rugalmas erő.) Számolási problémákat megoldani a tanult konzervatív erőkkel az energia megmaradás tétele segítségével. A gyakoribb nem konzervatív erőket leíró összefüggéseket megadni és értelmezni. (Testek felületén képződő erők, kényszererők, súrlódási erő, a közegellenállás.) Számolási problémákat megoldani a tanult nem konzervatív erőkkel, munkatétel segítségével.
Támpontok a tanuláshoz
A munka fogalmát a mindennapi életben is használjuk (szellemi munka, fizikai munka stb.). Az "átlagember" a mai világban örül, ha van munkája és boldogtalan, ha munkanélküli (az átlagember). A munka, mint fizikai mennyiség sokkal pontosabban definiált. Vegyünk egy egyszerű példát: egy sík terepen állandó nagyságú és irányú erővel húzzunk egy testet. A testre a legegyszerűbb esetben a gravitációs erő, a talaj által kifejtett nyomóerő (kényszererő) és a húzóerő hat. Ha a húzóerő vízszintes irányú, tehát az erő iránya és a mozgás iránya megegyezik, akkor a húzóerő által végzett munka egyszerűen: W= F húzó ⋅s , ahol s a test által megtett út.
Ha a húzóerő nem vízszintes, hanem a vízszintessel α szöget zár be, akkor a munka: W= F húzó ⋅s⋅cos⁡α . Úgy mondjuk, hogy az erőnek csak az út irányába eső komponense végez munkát. Látható, hogy a munka definíciójában fontos szerepe van a test által megtett út irányának és az erő irányának. Azt a matematikai műveletet, amelyben két vektormennyiséget szorzunk össze, és amely figyelembe veszi a két vektor közötti szöget, továbbá a művelet skaláris mennyiséget eredményez, a két vektor skaláris szorzatának nevezzük. Ennek megfelelően egy adott erő által végzett munka: W= F ¯ ⋅ s ¯ =F⋅s⋅cos⁡α .
A definícióból következik, hogy abban az esetben, ha az erő merőleges az útra, az erő által végzett munka nulla. Ebből következik, hogy a kényszererők által végzett munka is nulla. (A kényszererők merőlegesek a test elmozdulására.) A példánkban sem a gravitációs erő, sem a talaj által kifejtett nyomóerő nem végez munkát.
Gyakran előfordul, hogy az erő, amelynek a munkavégzését meg akarjuk határozni, a test mozgása során helyről helyre változik (változik a nagysága vagy az iránya, vagy egyszerre mindkettő), vagy a test nem egyenes mentén mozog. Mit tehetünk ebben az esetben? A test által megtett utat nagyon kicsi (minél kisebb, annál pontosabb a közelítés) Δ s ¯ elemi utakra bontjuk, mindegyikre meghatározzuk az erő elemi munkáját ( Δ W= F ¯ ⋅Δ s ¯ ), majd ezeket az elemi munkákat a teljes útra összegezzük. A munka meghatározása általános esetben bonyolult matematikai művelet (vonal menti integrálás).
Vannak azonban olyan erők (erőterek), az úgynevezett potenciálos erők (erőterek), ahol az erő által végzett munkát sokkal egyszerűbb meghatározni. Erőtérről akkor beszélünk, ha tér különböző pontjaiban más-más erő hat egy testre, tehát az erő a három térkoordináta függvénye: F(x,y,z). Ilyen erő például a gravitációs erő, nagysága a Föld felszín közelében állandó F(x,y,z)=mg. Ezeket az erőket azért nevezzük potenciálos erőknek (erőtereknek), mert a tér különböző pontjaihoz hozzárendelhető egy függvény, az úgynevezett potenciálfüggvény, aminek segítségével egyszerűen meghatározható az adott erő munkavégzése, miközben a test a tér egy adott pontjából (1) a másikba (2) jut: W=V(1)-V(2). A fentiekből következik, hogy potenciálos erő által végzett munka nem függ attól, hogy a test milyen úton jutott a tér egy adott pontjából a másikba.
A gyorsítási munka az a munka, amit valamely F erő addig végez, amíg egy nyugvó testet v sebességre gyorsít fel. A gyorsítási munka Wgy=1/2mv2, csak a test tömegétől és az elért sebességtől függ. Az összefüggés változó erők és görbe vonalú mozgások esetén is érvényes.
Ha az F erő hatására a test emelkedik (azonban a sebessége nem változik), akkor az erő emelési munkát végez. W em. =F⋅h=mgh .
Ha egy rugót a nyújtatlan állapotából meg akarunk nyújtani, egyre nagyobb erővel kell húzni a rugó végét, hiszen a megnyújtáshoz szükséges erő arányos a pillanatnyi megnyúlással: F=Dx. A nyújtóerő is munkát végez, aminek a nagysága Wny=1/2Dx2 (ha a rugó a nyújtás kezdetén nyújtatlan állapotban volt).
A földről felemelt test, a megnyújtott rugó, a mozgó kocsi munkavégző képességgel, más szóval energiával rendelkezik. Az energiát azzal a munkával mérjük, amellyel a testet az adott állapotba hozhatjuk. Ennek értelmében például egy h magasságra felemelt testnek Epot=mgh potenciális, azaz helyzeti energiája van.
A munkatétel kimondja, hogy egy tömegpont mozgási energiájának megváltozása egyenlő a tömegpontra ható erők eredője által végzett munkával.
A munkatételből következik, hogy a nehézségi erő hatása alatt álló tömegpont mozgási és helyzeti energiájának összege a mozgás folyamán állandó.

| Ellenőrző kérdések
1. Mikor végez egy ember több munkát: a) ha 10 kg tömegű testet visz fel 10 m magasra vagy b) ha 20 kg tömegű testet 5 m magasra?
| Az a) esetben.
| Azonos munkát végez a két esetben.
| A b) esetben.
2. Lejtőn csúszik egy test lefelé. Melyik erő végez pozitív munkát az alábbiak közül?
| A lejtő nyomóereje.
| A nehézségi erő.
| A súrlódási erő.
| Egyik sem.
3. Egy autó 25 m/s sebességgel halad az úttesten. A súrlódási együttható az autó és az úttest között 0,8. Milyen hosszú úton áll meg az autó, ha fékezés közben csúszik? (m=1200kg.)
| 39,1 m
| 15,8 m
| 72,3 m
| 22,6 m
4. Egy 2 m hosszú 0,8 kg tömegű fonálingát a függőlegessel 36,9° szöget bezáró helyzetig kitérítjük. Határozza meg, hogy mennyi munkát végeztünk ezalatt és az ingatest sebességét a nyugalmi helyzeten való áthaladáskor, amennyiben kezdősebesség nélkül elengedjük.
| 4,8 J, 5,3 m/s
| 3,2 J, 2,8 m/s
| 5,3 J, 7,2 m/s
| 7,7 J, 9,3 m/s
5. Mekkora munkát végez a megnyújtó erő azon a rugón, amelyet egy 80 g tömegű test 4,0 cm-rel nyújt meg, mialatt megnyúlását 10 cm-ről 20 cm-re változtatja? Minden megnyúlás a nyújtatlan állapotból értendő.
| 0,1 J
| 0,3 J
| 0,6 J
| 0,4 J
Ha a lecke feldolgozásában elakad, kérje a tutor segítségét!