KURZUS: Műszaki fizika alapjai

MODUL: II. modul: Tömegpontok kinematikája

5. lecke: Általános egyenes vonalú mozgás

| A jegyzet feldolgozandó fejezetei:
A jegyzet "Pontszerű testek kinematikája" fejezete (és alfejezetei) "Pontszerű testek kinematikája" előadás prezentáció Példatár: 1. lecke Pillanatnyi sebesség és gyorsulás
Tanulási célok: A lecke anyagának feldolgozása után Ön képes lesz:
Megadni a grafikus kapcsolatot a hely, sebesség és gyorsulásfüggvények között. Egyszerűbb esetekben deriválással kiszámolni a hely-idő függvényből a pillanatnyi sebességet, a sebesség-idő függvényből a pillanatnyi gyorsulást. Egyszerű esetekben a gyorsulás-idő függvényből grafikusan, illetve integrálással kiszámolni a sebesség-változást, a sebesség-idő függvényből pedig az elmozdulást.
Támpontok a tanuláshoz
Ábrázoljuk egy x-tengely mentén mozgó test hely-idő grafikonját. A grafikon t1 és t2-höz tartozó pontjait a vízszintes tengelyre, azaz az idő tengelyre vetítve a pontok távolsága Δ t lesz, míg a függőleges tengelyre eső vetület Δ x lesz. Ezért a grafikon t1 és t2-höz tartozó pontjain átmenő egyenes m=Δ t/Δ x meredeksége a t1 és t2 közötti időtartamra vonatkozó átlagsebesség lesz.
Ha a t2-t t1-hez közelítjük, akkor a grafikonhoz húzott szelő egyre inkább hozzásimul a grafikonhoz, végül szinte pontosan egybeesik a grafikonhoz t1 pontban húzott érintővel. A pillanatnyi sebesség tehát megegyezik a hely-idő grafikonhoz húzott érintő meredekségével, ami a hely-idő függvény derivált függvényének, azaz a sebesség-idő függvénynek a t1 pontban számolt helyettesítési értéke.
Hasonló megfontolások alapján a pillanatnyi gyorsulás megegyezik a sebesség-idő grafikonhoz húzott érintő meredekségével, ami a sebesség-idő függvény derivált függvényének, azaz a gyorsulás-idő függvénynek a t1 pontban számolt helyettesítési értéke.
A sebesség-idő grafikon és a t-tengely közti terület egy t1 és t2 időpontok között megegyezik a test [t1,t2] intervallum alatti elmozdulásával. A területeket előjel helyesen kell figyelembe venni. Azokon a szakaszokon, ahol a grafikon a t-tengely felett megy, azaz v>0, pozitív az elmozdulás előjele, különben pedig negatív. Egy adott függvénygörbe alatti terület az adott függvény határozott integrálja. Ezért az elmozdulás a sebesség-idő függvény határozott integrálja. Hasonló megfontolások alapján a sebességváltozás a gyorsulás-idő függvény [t1,t2] intervallumra számolt határozott integrálja.
Ebben a leckében a legnagyobb nehézséget a deriválás és az integrálás fogalmának megjelenése okozza. Ezzel az első féléves matematikaképzés részletesen megismerteti a hallgatót. Fizikához itt inkább a fogalom ismerete, szemléletes jelentése szükséges. A példák megoldásának megértésére és önálló reprodukálására szenteljen kiemelt figyelmet!

| Ellenőrző kérdések
1. Mi a pillanatnyi sebesség definíciója?
| A hely-idő függvény idő szerinti deriváltja.
| A sebesség-idő függvény alatti terület.
| Egy adott út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa.
| A gyorsulás-idő függvény idő szerinti deriváltja.
2. Hogyan kaphatjuk meg a gyorsulás-idő függvényt a sebesség-idő függvény ismeretében?
| A sebesség-idő függvényt integráljuk az idő szerint.
| A sebesség-idő függvényt deriváljuk az idő szerint.
| A sebesség idő függvényt szorozzuk az idővel.
| A sebesség-idő függvény osztjuk az idővel.
3. Mit ad meg a gyorsulás-idő függvény [t1,t2] intervallumra számolt határozott integrálja?
| A pillanatnyi sebességet.
| A sebességváltozást.
| Az elmozdulást.
| A megtett utat.
4. Egy test egyenes mentén mozog. Hely-idő függvénye SI egységekben x(t)=5x3-3x2+9. Adja meg a pillanatnyi sebességét a t=3s időpillanatban!
| 117 m/s
| 53 m/s
| 87 m/s
| 152 m/s
5. Egy test hely-idő függvénye SI egységekben x(t)= t4-3×t2+1. Mekkora a gyorsulása a t=3s időpontban?
| 37 m/s2
| 128 m/s2
| 102 m/s2
| 76 m/s2
6. Egy test gyorsulás-idő függvénye SI-egységekben a következő: a(t)=3-2t. Tudjuk, hogy a test t1=1s-kor 5 m/s sebességgel mozgott. Mekkora a sebessége t2=3-s kor?
| 3 m/s
| 1,5 m/s
| 7 m/s
| 5 m/s
Ha a lecke feldolgozásában elakad, kérje a tutor segítségét!