KURZUS: Műszaki fizika alapjai

MODUL: II. modul: Tömegpontok kinematikája

4. lecke: Szabadesés, Egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás, Függőleges hajítás

| Feldolgozandó:
A jegyzet "Pontszerű testek kinematikája" fejezete (és alfejezetei) "Pontszerű testek kinematikája" előadás prezentáció Példatár: 2. lecke Egyenes vonalú egyenletes és egyenletesen gyorsuló mozgás, 3. lecke Szabadesés és függőleges hajítás
Tanulási célok: A lecke anyagának feldolgozása után Ön képes lesz:
Az átlagsebesség és a pillanatnyi sebesség, átlaggyorsulás és pillanatnyi gyorsulás fogalmát meghatározni. Meghatározni a szabadon eső test hely-idő függvényét és pillanatnyi sebességét. Meghatározni az állandó gyorsulással mozgó test hely-idő függvényét és pillanatnyi sebességét. Meghatározni a függőleges hajítás hely-idő függvényét és pillanatnyi sebességét. Szabadeséssel, egyenes vonalú egyenletes mozgással és függőleges hajítással kapcsolatos feladatokat megoldani.
Támpontok a tanuláshoz
A szabadon eső test is egyenes vonalú mozgást végez, azonban a megtett út már nem arányos az esési idővel. Erről úgy is meggyőződhetünk, ha ábrázoljuk az utat az esési idő függvényében, nem kapunk egyenest. Az út-idő görbe inkább egy parabola ágra hasonlít. Sejtésünket igazolja, ha a szabadon eső test által megtett utat az idő négyzetének függvényében ábrázoljuk, már egyenest kapunk. Az egyenes meredeksége megadja az út és az esési idő négyzete közötti arányossági tényezőt (k=4,905 m/s2). A szabadon eső test út-idő függvénye: s(t)=kt2.
A szabadon eső test sebessége szemmel láthatóan növekszik az esés során, tehát a szabadesés már nem jellemezhető egyetlen sebesség adattal. Próbáljuk meghatározni a sebesség időbeli változását! Kiszámítjuk, hogy a t ideig eső test mekkora Δ s utat tesz meg a következő Δ t időtartam alatt. A Δ s/Δ t hányados megadja a t időpillanatban kezdődő és a t+Δ t időpillanatban végződő időtartamra eső átlagsebességet: v átl =2 kt+k Δ t . Ha a Δ t időtartamot egyre kisebbre választjuk, határértékben eljutunk a pillanatnyi sebesség fogalmához. A szabadon eső test pillanatnyi sebessége tehát: v(t)=2kt.
A mozgások leírásában annak is jelentősége van, hogy mennyire gyors, mennyire intenzív a sebesség megváltozása, azaz mekkora a testek gyorsulása. A szabadon eső test gyorsulását a v(t) sebesség-idő függvényhez hasonlóan határozhatjuk meg. Először kiszámítjuk, hogy a t ideig eső testnek mekkora a (v sebesség változása a következő (t időtartam alatt. A Δ v/Δ t hányados megadja a t időpillanatban kezdődő és a t+Δ t időpillanatban végződő időtartamra eső átlaggyorsulást: aátl.=2k. Láthatjuk, hogy a szabadon eső test átlaggyorsulása, így pillanatnyi gyorsulása is állandó, nem függ az időtől: a(t)=2k.
A szabadon eső test gyorsulását gravitációs gyorsulásnak hívjuk és g-vel jelöljük: g=2k=9,81 m/s2. Az út-idő, ill. a sebesség-idő függvény g-vel kifejezve: s(t)=1/2gt2, v(t)=gt.
A szabadon eső test hely-idő függvényének megadásához meg kell adni a vonatkoztatási pontot, majd ahhoz koordináta rendszert kell rögzíteni. A legegyszerűbb az, ha a vonatkoztatási pontot az ejtés helyére vesszük fel, a koordináta rendszer egyik, mondjuk a z-tengelye pedig legyen függőleges. A szokás az, hogy a függőleges tengelyt felfelé irányítjuk. Ez azonban a szabadesésnél nem célszerű, hiszen egy ilyen koordináta rendszer választás esetén a gyorsulás, a sebesség és helykoordináták is az esés minden pillanatában negatív értékűek, mivel a test gyorsulása és sebessége is függőlegesen lefelé mutat, továbbá a test függőlegesen lefelé esik. Praktikusabb, ha a z-tengelyt függőlegesen lefelé irányítjuk. Egy ilyen koordináta rendszerben a szabadon eső test hely-idő, illetve sebesség-idő függvénye z(t)=1/2gt2, v(t)=gt.
Számtalan olyan mozgás létezik, ahol a test gyorsulása állandó. (A dinamikában tanulni fogjuk, hogy ha egy testre ható erő állandó, akkor a test gyorsulása is állandó lesz. Nagyságát a test tömege és az erő nagysága együttesen határozzák meg.) Ezek közé a mozgások közé tartozik a szabadesés is. Ebből következik, hogy a szabadesésnél használt hely-idő és sebesség-idő függvények érvényesek minden állandó gyorsulással történő mozgásra, amennyiben az álló helyzetből indul. (A szabadon eső testnek sincs kezdősebessége.) x(t)=x0+1/2at2, v(t)=at. X0 jelöli a test helyzetét a mozgás kezdetén, azaz t=0-kor. Ha a test mozgása a vonatkoztatási pontból indul, akkor x0=0. Csak egy kicsit kell az összefüggéseket módosítani akkor, ha az egyenletesen gyorsuló mozgásnak van kezdősebessége: x(t)=x0+v0t+1/2at2, v(t)=v0+at.
Fontos megjegyzés, hogy a fenti x(t) és v(t) összefüggések megforduló mozgásokra is alkalmazhatóak. Ez akkor fordulhat elő, ha a kezdősebesség és a gyorsulás ellenkező irányba mutat. Ebben az esetben, ha a kezdősebesség, vagy a gyorsulás a koordinátatengely irányával ellentétes irányba mutat, akkor a megfelelő képletbe negatív számot kell beírni.
Példa az állandó gyorsulással történő megforduló mozgásra a fölfelé történő függőleges hajítás, hiszen, a test kezdősebessége fölfelé, gyorsulása, a gravitációs gyorsulás pedig lefelé mutat. Ha a koordinátarendszerünk z-tengelye fölfelé mutat, akkor a függőleges hajításra a következő összefüggéseket alkalmazhatjuk: z(t)=z0+v0t-1/2gt2, v(t)=v0-gt.

| Ellenőrző kérdések
1. Melyik állítás hamis? A szabadon eső test mozgása...
| egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás.
| egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás.
| egyenes vonalú egyenletes mozgás.
| egyenes vonalú gyorsuló mozgás.
3. Hogyan változik az időben az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás gyorsulása?
| A gyorsulás a mozgás során nullától különböző állandó.
| A gyorsulás egyenletesen nő.
| A gyorsulás a mozgás során végig nulla.
| A mozgás során a test nem gyorsul.
3. Vákuumcsőben egyszerre ejtünk le egy tollpihét és egy ólomgolyót. Mekkora gyorsulással esik a tollpihe?
| A tollpihe nem gyorsul, hanem egyenletesen esik.
| A tollpihe g-nél kicsit kisebb gyorsulással esik.
| A tollpihe g-nél sokkal kisebb gyorsulással esik.
| A tollpihe g gyorsulással esik.
4. Szabadon eső test az esés utolsó másodpercében 30 m utat tesz meg. Mekkora volt a sebessége ennek az utolsó másodpercnek a kezdetén?
| 15 m/s
| 25 m/s
| 30 m/s
| 20 m/s
5. Egyenes pályán álló helyzetből induló test sebessége 3 s alatt egyenletesen 9 m/s-ra nő. Ezt követően a test 9 s alatt egyenletesen lassulva megáll. Mekkora utat tett meg a test az indulástól a megállásig?
| 27 m
| 54 m
| 108 m
| 45 m
6. Egy követ függőlegesen felfelé hajítunk 20 m/s kezdősebességgel. Hol van a kő 5 s múlva a fellövés szintjéhez képest? (Feltételezzük, hogy a test ekkor még nem érkezett le a talajra.)
| Az eldobás szintje alatt 5 m-rel.
| Az eldobás szintje alatt 25 m-rel.
| Az eldobás szintje fölött 5 m-rel.
| Pontosan az eldobás szintjén.
Ha a lecke feldolgozásában elakad, kérje a tutor segítségét!